Stupňová míra#
Pro další účely budeme veškeré úhly ukazovat na jednotkové kružnici se středem ve vrcholu úhlu. Takovou kružnici můžeme ke každému úhlu přikreslit, uvidíme, že se nám dále bude hodit v obloukové míře i v zavádění goniometrických funkcí.
Stupně a zlomky#
Již od základní školy známe stupňovou míru: plný úhel je $360^{\circ}$, pravý je $90^{\circ}$ a podobně. Alternativně můžeme velikost úhlu popisovat zlomkem. Úhel je část roviny, můžeme se tedy zeptat, o jak velký díl roviny se jedná. Například $90$ stupňům bude odpovídat jedna čtvrtina a $180$ stupňům jedna polovina.
Video 1: převod zlomky na stupně
Máme díl (výseč) kruhu odpovídající nějakému zlomku. Jak velký úhel je u vrcholu výseče? Na videu jsou ukázány tři příklady.
Na videu 1 je ukázán princip násobení část krát celek, kde část je představována zlomkem a celek činí $360^{\circ}$.
Cvičení 1
Vykresli do jednotkové kružnice výseč odpovídající danému zlomku, následně spočítej příslušnou velikost úhlu ve stupních.
a) $\tfrac{1}{9}$ b) $\tfrac{7}{8}$ c) $\tfrac{5}{12}$ d) $\tfrac{3}{5}$
Řešení
Video 2: převod stupně na zlomky
Nyní si ukážeme opačný proces: známe úhel o velikosti ve stupňové míře a ptáme se, jakou část celku v kruhu úhel pokrývá.
Cvičení 2
Spočítejte, jakým zlomkům (v základním tvaru) odpovídají následující úhly o velikostech
a) $36^{\circ}$ b) $330^{\circ}$ c) $23^{\circ}$ d) $225^{\circ}$
Řešení
a) $\cfrac{36}{360} = \cfrac{1}{10}$ b) $\cfrac{330}{360} = \cfrac{33}{36} = \cfrac{11}{12}$ c) $\cfrac{23}{360}$ d) $\cfrac{225}{360} = \cfrac{45}{72} = \cfrac{5}{8}$
Směry otáčení#
Video 3
V předchozích videích bylo také animováno, jak úhly mění svoji velikost. Tomu, jak vypadá zvětšování a zmenšování úhlu, věnujeme následující video.
Stupně a symetrie#
Každý úhel má v dalších kvadrantech jemu příbuzné úhly. S modelem jednotkové kružnice je nalezneme vedením přímky ve svislé ose, vodorovné ose či diagonálou skrz střed. Následující tři videa věnujeme tomu, jak určíme velikosti těchto příbuzných úhlů.
Video 4: symetrie podle svislé osy
Video 5: symetrie podle vodorovné osy
Video 6: symetrie podle počátku
Cvičení 3
S přibližným odhadem načrtni úhly na jednotkovou kružnici dle dané velikosti (do správného kvadrantu). Poté k nim najdi příbuzné úhly ve zbylých kvadrantech a zjisti jejich velikosti.
a) $57^{\circ}$ b) $110^{\circ}$ c) $305^{\circ}$
Řešení
a) $57^{\circ}$ leží v prvním kvadrantu, další velikosti jsou $123^{\circ}$, $237^{\circ}$ a $303^{\circ}$.
b) $110^{\circ}$ leží v druhém kvadrantu, další velikosti jsou $70^{\circ}$, $250^{\circ}$ a $290^{\circ}$.
c) $305^{\circ}$ leží ve čtvrtém kvadrantu, další velikosti jsou $55^{\circ}$, $125^{\circ}$ a $235^{\circ}$.
Orientované úhly#
Orientovaný úhel je uspořádaná dvojice polopřímek, narozdíl od úhlu však oritentovanému úhlu přiřazujeme více velikostí. Základní velikost orientovaného úhlu odpovídá standardní velikosti úhlu, dále však můžeme pracovat s vyššími i zápornými hodnotami (třeba $1000^{\circ}$ nebo $-200^{\circ}$).
Video 7: otáčení v kladném směru
V této vizualiaci je odvozen vzorec, který platí pro všechny kladné velikosti orientovaného úhlu. Ramenem úhlu otáčíme proti směru hodinových ručiček.
Video 8: otáčení v záporném směru
Ke kladným hodnotám přidáme záporné hodnoty orientovaného úhlu. Ty vzniknou při otáčení po směru hodinových ručiček.
Video 9: ekvivalentní velikosti orientovaného úhlu
Zde je ukázáno, jakých velikostí může nabývat daný orientovaný úhel.
Cvičení 4
Napiš tři příklady, jakých dalších velikostí může nabývat orientovaný úhel s velikostí:
a) $100^{\circ}$ b) $550^{\circ}$ c) $-20^{\circ}$
Řešení
a) $460^{\circ}, 820^{\circ}, -260^{\circ}, -620^{\circ}, 3700^{\circ}, 36100^{\circ}, \dots$
b) $190^{\circ}, 910^{\circ}, -170^{\circ}, \dots$
c) $340^{\circ}, 700^{\circ}, 1060^{\circ}, \dots$
Cvičení 5
Najdi základní velikost následujícíh orientovaných úhlů
a) $450^{\circ}$ b) $-365^{\circ}$ c) $1000^{\circ}$ d) $3555^{\circ}$
Řešení
a) $90^{\circ}$ b) $355^{\circ}$ c) $280^{\circ}$ d) $325^{\circ}$