Zavedení goniometrických funkcí#
Propojení s trigonometrií#
S funkcemi sinus a kosinus se žáci poprvé setkávají u pravoúhlých trojúhelníků (matematická oblast trigonometrie). Pro další účely si pravoúhlý trojúhelník znázorníme v prvním kvadrantu jednotkové kružnice.
Video 14: Trojúhelník a souřadnice bodu
Do jednotkové kružnice lze přikreslit pravoúhlý trojúhelník o délce přepony jedna. Pak délky odvěsen budou přímo odpovídat hodnotám sinus a kosinus.
Pokud bychom zavedli souřadný systém s počátkem ve středu kružnice (kde osa x je vodorovná), pak hodnota kosinus bude představovat x-ovou souřadnici bodu na kružnici. A hodnota sinus bude představovat y-ovou souřadnici bodu na kružnici. S představou hodnot sinus a kosinus jako souřadnic si můžeme dovolit zobecnění i do dalších kvadrantů, jak si ukážeme na dalším videu.
Cvičení 10
Z trojúhelníku lze přímo vyčíst známý goniometrický vzorec. Dokážete jej najít?
Nápověda
Použijte Pýthagorovu větu.
Řešení
Získáme takzvanou goniometrickou jedničku, neboli vzorec $$ \sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1$$ Můžete se ještě zamyslet, pro jaké velikosti úhlů $\alpha$ tento vzorec platí: pro hodnoty mezi $0^{\circ}$ a $90^{\circ}$, nebo i pro další?
Hodnoty sinus a kosinus#
Video 15: souřadnice bodu na jednotkové kružnici
Toto video představuje jakousi vizuální kalkulačku. Při zastavení videa ve vhodný čas lze vyčíst přibližné hodnoty sinus a kosinus úhlu o příslušné velikosti. Video je pak pomůckou ke splnění navazujících cvičení.
Z vizualizace je patrné, že hodnota sinus $390^{\circ}$ bude stejná jako hodnota sinus $30^{\circ}$, protože se jedná o velikosti téhož orientovaného úhlu. Říkáme, že funkce sinus a kosinus jsou periodické s délkou periody $360^{\circ}$ (nebo $2\pi$, pokud počítáme v obloukové míře).
Cvičení 11
Přiřaďte, pro jaký ze čtyř kvadrantů platí:
a) Hodnota sinus i kosinus je kladná
b) Hodnota sinus i kosinus je záporná
c) Hodnota sinus je kladná, hodnota kosinus je záporná
d) Hodnota sinus je záporná, hodnota kosinus je kladná
Řešení
a) První kvadrant b) Třetí kvadrant c) Čtvrtý kvadrant d) Druhý kvadrant
Cvičení 12
Stopněte video ve vhodnou chvíli, abyste byli schopni vyčíst přibližné hodnoty sinus a kosinus pro následující velikosti úhlů:
a) $80^{\circ}$ b) $150^{\circ}$ c) $333^{\circ}$ d) $500^{\circ}$ e) $-160^{\circ}$
Řešení
a) $\sin 80^{\circ} \doteq 0,98$ $\cos 80^{\circ} \doteq 0,17$
b) $\sin 150^{\circ} = 0,5$ $\cos 150^{\circ} \doteq -0,87$
c) $\sin 333^{\circ} \doteq -0,45$ $\cos 333^{\circ} \doteq 0,89$
d) $\sin 500^{\circ} \doteq 0,64$ $\cos 500^{\circ} \doteq -0,77$
e) $\sin (-160^{\circ}) \doteq -0,34$ $\cos (-160^{\circ}) \doteq -0,94$
Cvičení 13
Nyní opačný proces: zjistěte mi základní velikost úhlu, pro nějž platí:
a) jeho hodnota sinus je 1
b) jeho hodnota kosinus je -1
c) jeho hodnota sinus je 0
d) jeho hodnoty sinus a kosinus jsou stejné
Řešení
a) $90^{\circ}$ b) $180^{\circ}$ c) $0^{\circ}$ a $180^{\circ}$ d) $45^{\circ}$ a $225^{\circ}$
Příbuzné úhly#
Nyní uplatníme své znalosti z hledání příbuzných úhlů. Příbuznost spočívá v tom, že zachovává souřadnice – až na případnou změnu znaménka. Známe-li tedy hodnotu sinus (resp. kosinus) úhlu v prvním kvadrantu, pak lze snadno dopočítat hodnoty všech příbuzných úhlů v ostatních kvadrantech.
Video 16: sinus převod mezi kvadranty
Souřadnice svislé osy y odpovídají hodnotě sinus.
Cvičení 14
Je-li $\sin ( \tfrac{\pi}{5}) \doteq 0,588$, pak čemu se budou rovnat hodnoty $\sin ( \tfrac{4}{5} \pi )$, $\sin ( \tfrac{6}{5} \pi )$, $\sin ( \tfrac{9}{5} \pi )$ a $\sin ( \tfrac{11}{5} \pi )$?
Řešení
Z videa je patrné, že platí následující rovnosti: $$ \sin ( \tfrac{\pi}{5}) = \sin ( \tfrac{4}{5} \pi ) = \sin ( \tfrac{11}{5} \pi )\doteq 0,588$$ $$ \sin ( \tfrac{6}{5} \pi ) = \sin ( \tfrac{9}{5} \pi )\doteq -0,588$$
Video 17: kosinus převod mezi kvadranty
Souřadnice vodorovné osy x odpovídají hodnotě kosinus.
Cvičení 15
Je-li $\cos ( \tfrac{\pi}{5}) \doteq 0,809$, pak čemu se budou rovnat hodnoty $\cos ( \tfrac{4}{5} \pi )$, $\cos ( \tfrac{6}{5} \pi )$, $\cos ( \tfrac{9}{5} \pi )$ a $\cos ( \tfrac{11}{5} \pi )$?
Řešení
Z videa je patrné, že platí následující rovnosti: $$ \cos ( \tfrac{\pi}{5}) = \cos ( \tfrac{9}{5} \pi ) = \sin ( \tfrac{11}{5} \pi )\doteq 0,809$$ $$ \cos ( \tfrac{4}{5} \pi ) = \cos ( \tfrac{6}{5} \pi )\doteq -0,809$$
Polární souřadnice#
Video 18
Jsou-li hodnoty sinus a kosinus souřadnice na jednotkové kružnici se středem v počátku, jistě se nabízí otázka, zda je lze použít jako souřadnice libovolného bodu v rovině. Lze to, klíčová je idea převedení daného bodu na bod kružnice se středem v počátku (právě pro jeden poloměr to vyhovuje). Následný sinus a kosinus úhlu, který svírá přímka vedoucí bodem a počátkem s x-ovou souřadnicí, je pak pouze násobený poloměrem, čímž získáme souřadnice.
Cvičení 16
Zjistěte na kalkulačce číselné souřadnice tří bodů ukázaných na videu.
Řešení
a) $[ \sin(225^{\circ}); \cos(225^{\circ}) ] \doteq [ -0,707; -0,707 ]$
b) $[ 1,5 \cdot \sin(150^{\circ}); 1,5 \cdot \cos(150^{\circ}) ] \doteq [ 0,75; -1,299 ]$
c) $[ \tfrac{3}{4} \cdot \sin(330^{\circ}); \tfrac{3}{4} \cdot \cos(330^{\circ}) ] \doteq [ -0,375; 0,650 ]$
Grafy funkcí#
Poslední videa propojí znalost jednotkových kružnic s řekněme známějším konceptem grafů.
Video 19: Jak z hodnot na souřadnici y nakreslíme sinusoidu
Z jednotkové kružnice lze pohodlně vyčíst libovolnou hodnotu sinus a tu pak přesunout jako bod do grafu. Pomocí několika hodnot bychom dokázali tvar sinusoidy zhruba odhadnout.
Na představě sledujících je zanecháno, jak by sinusoida vypadala pro velikosti úhlů jiné než základní. Jakým způsobem by sinusoida pokračovala?
Poznamenejme, že uvažujeme funkci sinus pouze na intervalu $\langle 0;2\pi \rangle$.
Cvičení 17
Zodpovězte na následující otázky:
a) Na jakých intervalech je funkce sinus rostoucí a na kterých klesající?
b) Kde nabývá funkce maxima, kde minima a kde má průsečík s osou x?
c) Jaký je obor hodnot funkce sinus?
Řešení
a) Funkce sinus je rostoucí na intervalu $\langle 0; \tfrac{\pi}{2}\rangle$ a dále na intervalu $\langle \tfrac{3}{2}\pi; 2\pi \rangle$. Klesající je na intervalu $\langle \tfrac{\pi}{2}; \tfrac{3}{2}\pi \rangle$.
b) Sinus nabývá maxima v bodě $\tfrac{\pi}{2}$, minima v bodě $\tfrac{3}{2}\pi$ a průsečíky s osou x má v bodech $0$, $\pi$ a $2\pi$.
c) Obor hodnot funkce sinus je $\langle -1; 1 \rangle$.
Cvičení 18
Definiční obor funkce sinus lze díky naší znalosti orientovaných úhlů rozšířit na všechna reálná čísla.
Řešení
a) Funkce sinus je rostoucí na intervalu $\langle 0; \tfrac{\pi}{2}\rangle$ a dále na intervalu $\langle \tfrac{3}{2}\pi; 2\pi \rangle$. Klesající je na intervalu $\langle \tfrac{\pi}{2}; \tfrac{3}{2}\pi \rangle$.
b) Sinus nabývá maxima v bodě $\tfrac{\pi}{2}$, minima v bodě $\tfrac{3}{2}\pi$ a průsečíky s osou x má v bodech $0$, $\pi$ a $2\pi$.
c) Obor hodnot funkce sinus je $\langle -1; 1 \rangle$.
Video 20: Jak z hodnot na souřadnici x nakreslíme kosinusoidu
V tomto videu je důležitý detail, že jednotkovou kružnici je třeba o 90 stupňů natočit, aby bylo možné promítat x-ové hodnoty do grafu. Jinak je postup v principu totožný s hledáním sinusoidy.
Cvičení 19
Zodpovězte na následující otázky:
a) Na jakých intervalech je funkce kosinus rostoucí a na kterých klesající?
b) Kde nabývá funkce kosinus maxima, kde minima a kde má průsečík s osou x?
c) Jaký je obor hodnot funkce kosinus?
Řešení
a) Funkce kosinus je rostoucí na intervalu $\langle \pi; 2\pi \rangle$ a klesající je na intervalu $\langle 0; \pi \rangle$.
b) Kosinus nabývá maxima v bodě $0$ a $2\pi$, minima nabývá v bodě $\pi$ a průsečíky s osou x má v bodech $\tfrac{\pi}{2}$ a $\tfrac{3}{2}\pi$.
c) Obor hodnot funkce kosinus je též $\langle -1; 1 \rangle$.