Zavedení goniometrických funkcí#
Propojení s trigonometrií#
Video 14: Trojúhelník a souřadnice bodu
Sinus a kosinus zatím žáci znají při výpočtu úhlů či délek stran u trojúhelníků. Trojúhelníky lze vytyčit i v jednotkové kružnici, jak video ukazuje. Žáci snad z videa pochytí, že právě při volbě jednotkové kružnice odpovídají hodnoty sinus a kosinus daného úhlu ničemu jinému než souřadnicím bodu na kružnici!
Hodnoty sinus a kosinus#
Toto je videotabulka, vizuální náhrada kalkulačky. Zastavte video ve vhodný čas a zjistěte hodnoty sinus a kosinus úhlu, na němž se video zastavilo. Ideální je dovolit žákům interakci s videem.
Je rozeznatelný nějaký vzor při výčtu hodnot? Doufáme, že ano! Není třeba si pamatovat sinus $390^{\circ}$, pokud si pamatuji $30^{\circ}$, zkrátka patrně zde uplatníme své znalosti o základní velikosti orientovaných úhlů. Funkce sinus a kosinus se totiž chovají periodicky.
Video 15: souřadnice bodu na jednotkové kružnici
Video 16: sinus převod mezi kvadranty
Zde uplatníme své znalosti z hledání příbuzných úhlů (videa 4, 5, 6). Příbuznost spočívá v tom, že zachovává souřadnice – až na změnu znaménka. Ypsilonové souřadnice odpovídají hodnotě sinus. V jakých kvadrantech je sinus kladný a v jakých je záporný?
Video 17: kosinus převod mezi kvadranty
Obdoba předchozího videa, tentokrát však šetříme x-ovou souřadnici a hodnoty kosinus.
Polární souřadnice#
Video 18
Jsou-li hodnoty sinus a kosinus souřadnice na jednotkové kružnici se středem v počátku, jistě se nabízí otázka, zda je lze použít jako souřadnice libovolného bodu v rovině. Lze to, klíčová je idea převedení daného bodu na bod kružnice se středem v počátku (právě pro jeden poloměr to vyhovuje). Následný sinus a kosinus úhlu, který svírá přímka vedoucí bodem a počátkem s x-ovou souřadnicí, je pak pouze násobený poloměrem, čímž získáme souřadnice.
Grafy funkcí#
Poslední videa propojí znalost jednotkových kružnic s řekněme známějším konceptem grafů.
Video 19: Jak z hodnot na souřadnici y nakreslíme sinusoidu
Z jednotkové kružnice lze pohodlně vyčíst libovolnou hodnotu sinus a tu pak přesunout jako bod do grafu. Pomocí několika hodnot bychom dokázali tvar sinusoidy zhruba odhadnout.
Na představě sledujících je zanecháno, jak by sinusoida vypadala pro velikosti úhlů jiné než základní. Jakým způsobem by sinusoida pokračovala?
Video 20: Jak z hodnot na souřadnici x nakreslíme kosinusoidu
V tomto videu je důležitý detail, že jednotkovou kružnici je třeba o 90 stupňů natočit, aby bylo možné promítat x-ové hodnoty do grafu. Jinak je postup v principu totožný s hledáním sinusoidy.