Oblouková míra#
Zavedení obloukové míry#
V předchozí kapitole jsme měřili úhly stupňovou mírou a pomocí zlomků. Nyní si představíme obloukovou míru, která je založena na délkách oblouku u jednotkové kružnice.
Video 10: pochod po jednotkové kružnici
Zde je vizualizován experiment, který si každý žák může zkusit na papíře. Máme kružnici s daným poloměrem. Pokud se budu po kružnici pohybovat po délkách poloměru, celou kružnici obejdu v šesti a kousek krocích.
Jak známe ze základní školy, obvod kruhu je roven $2 \pi r$, a v případě jednotkového kruhu $2 \pi$. To odpovídá našemu pozorování, že do délky kružnice se vejde šest a kousek poloměrů.
Délce oblouku na jednotkové kružnici odpovídající danému úhlu budeme říkat oblouková míra úhlu, je udávána v jednotce radiány (která se často vynechává). Na videu 10 tedy nahlížíme úhly o velikosti 1, 2 až 6. Plný úhel má velikost $2 \pi$.
Cvičení 6
Kde na kružnici budou přibližně končit křivky vedoucí proti směru hodinových ručiček z bodu $A$ o délkách:
a) $\pi$; $\tfrac{\pi}{2}$; $\tfrac{3}{2}\pi$ b) $1,5$ a $1,5 + \pi$ c) $6 - \pi$
Řešení
Převody u radiánů#
Z minulé kapitoly známe stupňovou míru, jakousi zlomkovou míru, a nyní máme i obloukovou míru. Následující videa ukazují, jak může probíhat převod mezi těmito mírami. Opět je zde použit princip násobení část krát celek, nyní však celek představuje konstanta $2 \pi$.
Video 11: zlomky na radiány
Máme úhel o velikosti dané zlomkem. Jakou má úhel velikost v obloukové míře?
Cvičení 7
Pomocí zlomků převeďte ze stupňové míry na obloukovou míru
a) $240^{\circ}$ b) $150^{\circ}$ c) $315^{\circ}$
Řešení
a) $\tfrac{240}{360} = \tfrac{2}{3}$, dále $\tfrac{2}{3} \cdot 2\pi = \tfrac{4}{3} \pi\ \text{rad}$
b) $\tfrac{150}{360} = \tfrac{5}{12}$, dále $\tfrac{5}{12} \cdot 2\pi = \tfrac{5}{6} \pi\ \text{rad}$
c) $\tfrac{315}{360} = \tfrac{7}{8}$, dále $\tfrac{7}{8} \cdot 2\pi = \tfrac{7}{4} \pi\ \text{rad}$
Video 12: radiány na zlomky a stupně Máme úhel o velikosti v obloukové míře. Pro zjištění stupňové míry si pomůžeme zlomky.
Cvičení 8
Převeď z obloukové míry na stupňovou míru pomocí zlomků
a) $\tfrac{2}{3} \pi\ \text{rad}$ b) $\tfrac{7}{4} \pi\ \text{rad}$ c) $\tfrac{3}{5} \pi\ \text{rad}$
Řešení
a) $120^{\circ}$ b) $225^{\circ}$ c) $108^{\circ}$
Radiány a symetrie#
Stejně jako u stupňové míry i u obloukové míry budeme potřebovat hledání příbuzných úhlů. Nyní už jen formou cvičení.
Cvičení 9
Najdi velikosti příbuzných úhlů, má-li úhel velikost
a) $\tfrac{1}{8} \pi\ \text{rad}$ b) $\tfrac{7}{6} \pi\ \text{rad}$ c) $\tfrac{29}{16} \pi\ \text{rad}$
Doporučujeme si nakreslit pomocný obrázek s jednotkovou kružnicí.
Řešení
a) Úhel je v prvním kvadrantu, další velikosti jsou $\tfrac{7}{8} \pi\ \text{rad}$, $\tfrac{9}{8} \pi\ \text{rad}$, $\tfrac{15}{8} \pi\ \text{rad}$
b) Úhel je ve třetím kvadrantu, další velikosti jsou $\tfrac{1}{6} \pi\ \text{rad}$, $\tfrac{5}{6} \pi\ \text{rad}$, $\tfrac{11}{6} \pi\ \text{rad}$
c) Úhel je ve čtvrtém kvadrantu, další velikosti jsou $\tfrac{3}{16} \pi\ \text{rad}$, $\tfrac{13}{16} \pi\ \text{rad}$, $\tfrac{19}{6} \pi\ \text{rad}$
Orientované úhly#
Jedná se o stejný princip jako ve stupňové míře. Orientovaný úhel má nekonečné množství velikostí i v radiánech, jednu z velikostí označujeme jako základní, a to právě tu, která se nachází v intervalu $[0; 2 \pi)$.
Video 13: ekvivalence velikostí orientovaných úhlů v obloukové míře
Jakým vzorečkem by se daly popsat všechny velikosti daného orientovaného úhlu? Která z velikostí je základní?
Řešení
Všechny velikosti orientaného úhlu z videa lze popsat vzorečkem $$\cfrac{7\pi}{4} + 2\pi k; k \in \Z,$$
kde $\tfrac{7\pi}{4}$ je základní velikost orientovaného úhlu, protože právě ta leží v intervalu $[0; 2 \pi)$.